O "Material das Contas" 

Vamos conhecer o material das contas pelas palavras de Maria Montessori:

"Preparei também, para os maiorezinhos do curso elementar, um material destinado a representar os números sob forma geométrica. Trata-se do excelente material denominado material das contas. As unidades são representadas por pequenas contas amarelas; a dezena (ou número 10) é formada por uma barra de dez contas enfiadas num arame bem duro. Esta barra é repetida 10 vezes em dez outras outras barras ligadas entre si, formando um quadrado, "o quadrado de dez", somando o total de cem. Finalmente, dez quadrados sobrepostos e ligados formando um cubo, "o cubo de 10", isto é, 1000.

Aconteceu de crianças de quatro anos de idade ficarem atraídas por esses objetos brilhantes e facilmente manejáveis. Para surpresa nossa, puseram-se a combiná-los, imitando as crianças maiores. Surgiu assim um tal entusiasmo pelo trabalho com os números, particularmente com o sistema decimal, que se pôde afirmar que os exercícios de aritmética tinham se tornado apaixonantes.

As crianças foram compondo números até 1000. O desenvolvimento ulterior foi maravilhoso, a tal ponto que houve crianças de cinco anos que fizeram as quatro operações com números de milhares de unidades".

Essas contas douradas acabaram se transformando em cubos que hoje formam o Material Dourado Montessori.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l2.htm

Quem foi Maria Montessori 

Nos anos iniciais deste século, Maria Montessori dedicou-se à educação de crianças excepcionais, que, graças à sua orientação, rivalizavam nos exames de fim de ano com as crianças normais das escolas públicas de Roma. Esse fato levou Maria Montessori a analisar os métodos de ensino da época e a propor mudanças compatíveis com sua filosofia de educação.

Segundo Maria Montessori, a criança tem necessidade de mover-se com liberdade dentro de certos limites, desenvolvendo sua criatividade no enfrentamento pessoal com experiências e materiais. Um desses materiais era o chamado material das contas que, posteriormente, deu origem ao conhecido Material Dourado Montessori. 

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l2.htm

O Material Dourado Montessori 

O Material Dourado Montessori destina-se a atividades que auxiliam o ensino e a aprendizagem do sistema de numeração decimal-posicional e dos métodos para efetuar as operações fundamentais (ou seja, os algoritmos).

No ensino tradicional, as crianças acabam "dominando" os algoritmos a partir de treinos cansativos, mas sem conseguirem compreender o que fazem. Com o Material Dourado a situação é outra: as relações numéricas abstratas passam a ter uma imagem concreta, facilitando a compreensão. Obtém-se, então, além da compreensão dos algoritmos, um notável desenvolvimento do raciocínio e um aprendizado bem mais agradável.

O Material Dourado faz parte de um conjunto de materiais idealizados pela médica e educadora italiana Maria Montessori.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l2.htm

Representação de Propriedades da Adição e da Subtração 

Na realidade, quando efetuamos cálculos mentais, utilizamos certas propriedades da operação. Assim, por exemplo, a soma não depende da ordem dos números que estão sendo somados. Usando letras, esta propriedade é assim resumida:

a + b = b + a,

quaisquer que sejam os números representados pelas letras a e b. Comutar significa trocar. Por isso esta propriedade é conhecida como propriedade comutativa da adição.

Para finalizar, vamos apresentar a formulação, através da linguagem algébrica, de mais algumas propriedades da subtração. Procure compreender cada uma das sentenças:

se a - b = c, então (a + x) - b = c + x

se a - b = c, então a - (b + x) = c - 

se (a - b) - c = a - (b + c)   

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l1.htm

O Uso de Letras na Matemática

É costume usar letras nas fórmulas matemáticas. Assim, por exemplo, na fórmula usada para calcular a área de um trapézio aparecem quatro letras.

Podemos exprimir o cálculo da área de um trapézio sem representar os números por letras:

"Para calcular a área de um trapézio, primeiro somamos as medidas de suas bases; em seguida, multiplicamos esta soma pela medida da altura; finalmente dividimos o produto obtido por dois."

Como você vê, o resultado é uma sentença muito comprida. Além disso, essa sentença só pode ser compreendida por quem conhece a língua portuguesa. A fórmula com letras, ao lado da figura, além de ser mais curta, pode ser compreendida por pessoas de qualquer parte do mundo.

O uso de letras para representar números é um fato relativamente recente na história da matemática. Um dos responsáveis por esta prática foi o matemático francês François Viète, que viveu no século XVI.

Vejamos mais alguns exemplos que ilustram o uso de letras na matemática. Há cerca de 2300 anos, o matemático grego Euclides escreveu em um de seus livros que:

"Se iguais são somados a iguais, os totais são iguais".

Usando letras para representar números podemos expressar esta idéia assim:

"se a = b e c = d, então a + c = b + d"

Dentre as pessoas que freqüentaram pelo menos as séries iniciais do primeiro grau, muitas se lembram de que "a ordem dos fatores não altera o produto". Trocando em miúdos esta frase resume a seguinte idéia: "numa multiplicação, se trocarmos a ordem dos números que estão sendo multiplicados, o resultado permanece o mesmo, quaisquer que sejam os dois números". Usando letras para representar os dois números esta propriedade fica assim resumida:

a.b = b.a

Nesta sentença matemática as letras a e b representam dois números quaisquer.

Para somar três números podemos somar o primeiro com o segundo e o resultado obtido somar com o terceiro número; ou então, podemos somar o segundo com o terceiro número e o resultado desta soma adicionar ao primeiro. Enfim, os números podem ser associados de qualquer maneira. Usando letras e parênteses escrevemos que:

(a + b) + c = a + (b + c),

quaisquer que sejam os números representados pelas letras a, b, e c. Esta é a propriedade associativa da adição.

Neste módulo, estudando a subtração, vimos algumas de suas propriedades, como a da compensação, por exemplo: "na subtração de dois números, sempre que ambos aumentam do mesmo tanto, a diferença entre eles permanece inalterada". Usando letras, esta propriedade é formulada assim:

"se a - b = c então (a + x) - (b + x) = c"

Neste caso as letras a, b e x também representam números quaisquer. Convém lembrar, entretanto, que, se estivermos raciocinando no universo constituído pelos números positivos e o zero, então o número representado pela letra b não pode ser maior do que o número representado pela letra a.

A equação que hoje representamos assim:

"10x² - 5x + 6 = 2",

no século XV era expressa nesta outra linguagem:

"10 census et 6 depentis 5 rebus aequatur 2"

Não há dúvida de que a linguaguem algébrica (o uso de letras para representar números), simplifica a comunicação, por seu caráter universal, preciso e econômico. Você já imaginou um livro de matemática todo escrito por extenso, sem o uso de símbolos matemáticos? Sem dúvida ele teria muito mais páginas do que os livros usuais.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l1.htm

Sinais que se Originaram de Palavras 

Durante a Idade Média (séculos V a XIV, aproximadamente), os livros de matemática eram praticamente desprovidos de símbolos. As idéias eram expressas por extenso, usando-se principalmente o latim. Aquela fase é denominada, hoje, de fase retórica da linguagem matemática.

10 census et 6 depentis 5 rebus aequatur 2

(Você é capaz de adivinhar o que significa esta frase?)

Naquela época, a subtração era indicada pela palavra latina minus. Com o tempo os copistas passaram a abreviar as palavras e minus foi substituída pela sua inicial com um traço em cima. Mais tarde passou-se a usar apenas o traço para indicar a subtração.

O sinal que usamos hoje para indicar a adição tem uma história parecida. A palavra latina et corresponde ao nosso e; ela indica adição: dezoito é dez e oito (dez mais oito). O sinal de adição (+) é uma derivação da letra t da palavra et.

Origem semelhante tem o símbolo que usamos para indicar raiz quadrada. Ele é uma variação da letra R, escrita em gótico:

Esta letra é a inicial da palavra latina radix, que quer dizer raíz.

Há outros símbolos matemáticos que se originaram das iniciais de certas palavras. O número pi (PI) surgiu do cálculo do perímetro da circunferência. Em grego, perímetro escreve-se assim:

Em 1737 o matemático suíço Leonhard Euler (lê-se "óiler") adotou a inicial da palavra grega para indicar o quociente constante entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência.

Como mostram os exemplos que vimos, muitos sinais usados hoje na matemática são resultado de sucessivas transformações. Na época em que os livros eram copiados manualmente estas modificações eram inevitáveis. O aparecimento da imprensa, nos fins do século XV, contribuiu para estabilizar a forma dos símbolos.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l1.htm

A Simbologia Matemática tem História 

Conhecer a origem de certos símbolos pode ajudar a compreendê-los. Já nas civilizações da Antiguidade (babilônios, gregos, chineses, romanos, etc.), os homens desenvolveram linguagens variadas para representar sons (palavras) e números, os símbolos que usavam de uma civilização para outra, dependendo de suas condições materiais e culturais.

Assim, por exemplo, os babilônios desenvolveram uma escrita para os números que, embora bastante sofisticada, usava basicamente um único sinal em forma de cunha (escrita cuneiforme).

As formas eram feitas pressionando levemente o bastonete sobre a placa de argila.

Com placas cuneiformes e uma série de princípios eles representavam qualquer quantidade.

Na China antiga foi usado um sistema numérico no qual, por exemplo, o número 56789 era representado dessa maneira:

A forma destes sinais originou-se, possivelmente, do próprio processo de calcular empregado por eles.

O cálculo era realizado com auxílio de pequenas barras de bambu.

Os egípcios, cujo sistema numérico foi abordado no módulo 1 deste curso, além dos sinais que representavam um, dez, cem, mil, dez mil e um milhão, também usavam dois curiosos sinais para identificar operações:

Duas pernas andando (ou andando para frente) indicavam adição e duas pernas voltadas para a esquerda (ou andando para trás), a subtração.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l1.htm