Problemas? Que Problemas? 

Nem todo problema permite um trabalho interessante com os alunos. Alguns são simples demais, outros complicados demais, outros nem sequer fazem sentido. Experimentando uma grande variedade de problemas, sempre com a preocupação de levar os alunos a raciocinarem, o professor vai selecionando os melhores e descobrindo a melhor maneira de trabalhá-los com os alunos.

Assim, poderá formar uma bela coleção de problemas para cada uma das séries. É importante manter uma espécie de "diário" de resoluções de problemas: cada problema em uma ficha ou folha de papel, com o registro de tudo o que aconteceu durante o trabalho com os alunos. A partir disso, pode-se até pensar em um sistema de intercâmbio de problemas comentados e, ao término desse curso, poderíamos pensar em publicar o "nosso" acervo coletivo de problemas. Seria uma maneira de colaborar com os colegas que, por algum motivo, não puderam se engajar neste curso.

"Resolução de problemas" é um dos assuntos mais discutidos atualmente no ensino da Matemática. Há muitas pessoas, no mundo inteiro, estudando a questão. Aqui apresentamos somente alguns aspectos, que estão longe de esgotar o tema, mas oferecem uma primeira oportunidade para refletir e, quem sabe, experimentar uma estratégia nova em sala de aula.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4l1.htm

Existem Alternativas? 

É claro que a mudança desse quadro não é simples. Entretanto, é possível. Pode-se ajudar a criança a raciocinar, ela mesma, sobre um problema, em vez de raciocinar por ela.

Raciocinar é pensar com a própria cabeça, com autonomia. Requer o enfrentamento de situações novas na busca de soluções até então desconhecidas. Para desenvolver a capacidade de raciocínio da criança através de problemas, é preciso que ela própria crie as soluções dos problemas.

Para isso, um bom caminho é pedir que os alunos leiam o enunciado do problema e perguntem o que não entenderam. Em seguida, o professor pode fazer várias perguntas sobre o enunciado. Algumas perguntas podem não ter relação direta com a resolução do problema, mas podem ajudar a compreender melhor a situação apresentada, atraindo a atenção dos alunos, incentivando-os a se imaginarem como parte da mesma, exercitando seu pensamento enquanto procuram explicações para os fatos apresentados no problema.

É muito importante que o professor peça às crianças que dêem sugestões de como o problema pode ser resolvido. Para ajudá-las a pensar, toda vez que uma criança propõe que se faça esta ou aquela operação, deve-se pedir que explique como chegou a isso. Talvez não consiga explicar, mas outra poderá fazê-lo e essa troca de idéias é excelente. Dessa maneira, as crianças estarão elaborando um raciocíno e construindo uma solução para o problema.

Além disso, um problema pode apresentar mais de uma forma de resolução. As crianças podem ser estimuladas a apresentar vários caminhos para chegar à solução do problema. Todas as sugestões devem ser discutidas com a classe. Resolver um mesmo problema por caminhos diferentes ajuda muito. Quem não entendeu a primeira resolução poderá, de repente, compreendê-la se voltar a pensar no problema de outra maneira.

Em resumo, o diálogo é indispensável. As crianças precisam ser estimuladas a ter idéias e a falar sobre suas idéias.

Prestar atenção ao que o aluno diz, procurar entendê-lo, aceitar suas idéias mesmo quando elas nos parecem estranhas, explicar com calma, caso a criança esteja enganada, são atitudes que incentivam a pensar, a raciocinar. Mais ainda: ajudam a gostar disso .

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4l1.htm

O Que Tem Sido Feito dá Certo? 

Muitas vezes o ensino das operações em Matemática tem sido feito da seguinte maneira:

a) definem-se as operações;
b) apresentam-se suas propriedades;
c) propõem-se alguns problemas como "modelo", apresentando-se suas resoluções;
d) propõem-se uma lista de problemas "parecidos" com os já vistos.

Os alunos observam o professor, que resolve um exercício "de cada tipo", como modelo. Depois resolvem uma série de outros parecidos. Não fazem mais do que repetir instruções.

Com isso, os alunos se acostumam a receber todo o conhecimento pronto, dado pelo professor. É o professor que escolhe os assuntos, explica tudo, diz o que deve ser feito, indica e corrige os erros. Os alunos não pensam, não discutem. Esperam que o professor pense no lugar deles, inclusive na hora de resolver um problema de Matemática.

A experiência tem mostrado que esse método, em geral, não amplia a compreensão sobre as operações ou outro assunto qualquer.

Por exemplo, muitos alunos conhecem os nomes das propriedades operatórias, mas não sabem dizer quando elas são úteis. Conhecer o nome de alguma coisa, sem saber para quê ela serve, não costuma valer a pena.

Por outro lado, os problemas deveriam fazer sentido para os alunos. Infelizmente, isso nem sempre acontece. É fácil descobrir problemas sem sentido em alguns livros didáticos.

Por exemplo: "Um leitão pesa 95 quilos. A carne desse leitão pesa 63 quilos. Quanto pesa o toucinho?"

- Não teria esse leitão ossos, couro, pêlos, estômago, intestino, etc.? Numa escola de zona rural, os alunos certamente dariam boas risadas desse problema, mas não melhorariam seus conhecimentos de Matemática!

O resultado dessa falta de sentido é que os alunos efetuam contas, calculam expressões numéricas e até chegam à solução de problemas, mas de maneira puramente mecânica, pois o que não faz sentido não estimula o raciocínio.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4l1.htm

Dividir Subtraindo 

No item anterior procuramos compreender o algoritmo tradicional da divisão. Há outras técnicas para dividir. Consideramos, por exemplo, a divisão de 17 objetos entre 5 pessoas. Primeiro damos 1 objeto para cada pessoa. Como foram distribuídos 5 objetos, restam 17 - 5 = 12 objetos para serem distribuídos:

Damos mais um objeto para cada pessoa.

A seguir mais outro.

Como só restam 2 objetos, admitindo que não se deseja o fracionamento, a divisão está encerrada.

É claro que, comparado com algoritmo tradicional, este tem a desvantagem de ser mais demorado (contudo é possível "enxugá-lo"). Entretanto, este processo de subtrações sucessivas tem uma grande vantagem: ele é compreendido pela criança com muito mais facilidade.

Vejamos outro exemplo: a divisão de 798 por 6. Neste caso, se fôssemos distribuindo de 1 em 1, o trabalho seria penoso! Fazendo uma estimativa, decidimos distribuir 100 para cada um dos 6:

Nova estimativa e decidimos distribuir mais 20 para cada uma:

Agora mais 10 para cada um:

Finalmente:

Esta técnica é conhecida por algoritmo das subtrações sucessivas ou algoritmo americano. Como já afirmamos, o aluno entende este algoritmo muito mais facilmente que o algoritmo tradicional. Quanto ao fato de ser mais demorado, isto é relativo. Com a prática, fazendo estimativas e cálculos mentais, os alunos logo aprendem a "enxugá-lo". Estas considerações não têm a finalidade de sugerir que se use um e não o outro algoritmo. É interessante que a criança conheça (e compreenda!) várias técnicas para dividir. Conhecendo vários processos e as dificuldades envolvidas na compreensão de cada um, deveremos decidir, em cada etapa da vida escolar do aluno, o que é mais adequado ao desenvolvimento do seu pensamento.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p2t7.htm

A Decomposição do Dividendo: Propriedade Distributiva 

Vamos interpretar o que a moça fez para dividir 1299 por 3. Ela decompôs 1299 na soma 1200 + 90 + 9. A seguir dividiu cada parcela da soma por 3;

1200 : 3 = 400; 90 : 3 = 30; 9 : 3 = 3.

Depois somou os quocientes obtidos:

400 + 30 + 3 = 433.

Podemos representar esta seqüência de cálculos assim:

1299 : 3 = (1200 + 90 + 9) : 3 = 1200 : 3 + 90 : 3 + 9 : 3 = 400 + 30 + 3 = 433.

As pessoas fazem decomposições como esta, com bastante naturalidade, quando calculam mentalmente.

A decomposição do dividendo não pode ser feita de qualquer jeito. Precisamos escolher bem os números.

As parcelas em que vamos decompor o dividendo devem ser divisíveis pelo divisor, ou seja, devem dar divisões exatas.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p2t2.htm

Prisioneiros do Algoritmo 

Esta história é verdadeira. Dois de seus protagonistas são estudantes de 6ª e 7ª séries. 

"Sérgio e Edson, à beira do lago, planejam um treino de natação. Querem nadar 1.000 metros e sabem que a distância, de árvore a árvore, é de 32 metros. Quantas vezes precisam atravessar o lago?

Seu Rafael, o avô, solicitado a assistir e controlar o treino, "pensando em voz alta", tenta explicar o cálculo.

Enquanto isso, sem prestar atenção ao que o avô diz, Edson conclui:

- Já sei! Preciso atravessar o lago 33 vezes e mais um pouco.

O avô diz que não é preciso e tenta explicar; pede que ouçam, mas não consegue. Então diz ao neto que explique como chegou ao 33.

O outro irmão acode, pega um graveto e faz a conta no chão. Desta vez o resultado é correto, mas os dois ainda ficam discutindo a respeito do resto 8. Que parte da travessia ele representa?

Seu Rafael, que não é professor, e nem se lembra mais dos tempos em que freqüentou escola, não entende muito bem o que se passa; mas fica com a sensação de que alguma coisa não vai bem com a matemática dos netos".

Edson errou a conta. Ele tentou fazer cálculo "de cabeça", usando o algoritmo tradicional da divisão que havia aprendido na escola (provavelmente de modo mecânico, sem compreendê-lo).

Usando o chão como papel e o graveto como lápis, Sérgio acertou a conta.

Este algoritmo não é adequado para a realização de cálculos mentais; por isso Edson acabou errando. Já seu Rafael, ao fazer a conta "de cabeça", não pensou no algoritmo. Em vez disso, fez estimativas, procurou operar com "números redondos" e, num processo de aproximações sucessivas, descobriu quantas vezes 32 cabe em 1000. Mas seus netos não conhecem estes recursos e aprendem a dividir de uma única maneira.

Com essa história queremos voltar ao que afirmamos no módulo 2 quando estudamos a adição. Naquela ocasião justificamos a prática do cálculo mental. Procuramos destacar a sua importância. No módulo seguinte, estudando a multiplicação, voltamos ao cálculo mental, explorando-o também como fonte para a compreensão das propriedades operatórias. A seguir veremos mais alguns exemplos em que propriedade e conceitos relativos à divisão despontam no cálculo mental.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p2t1.htm

Dividendo, Divisor, Quociente e Resto 

Duas situações-problema nos ajudarão a construir alguns conceitos.

"Quantas semanas há em um ano?"



Um ano não bissexto tem 365 dias e a semana tem 7 dias. Queremos saber quantas semanas há em um ano, ou seja, quantos grupos de 7 há em 365. Este cálculo pode ser feito mentalmente.

Como 365 = 7 x 52 + 1 , concluímos que um ano não bissexto tem 52 semanas e 1 dia. O problema proposto nos levou a uma divisão não exata. Esta divisão, que deixa resto 1, pode ser representada assim:

"Vovô Hermínio, que tem 7 netos, comprou 1 cento de balas. Sem dizer quantas balas havia no saco, entregou-o às crianças com a recomendação de que distribuíssem as balas igualmente entre elas."



Sentadas no chão, formando uma roda, as crianças decidiram pegar 10 balas cada uma. O saco ia passando de mão em mão e cada uma, na sua vez, retirava suas balas. Vovô observava os netos.

Na segunda rodada as crianças decidiram pegar mais 3 balas cada uma. Isto feito, olharam as balas que ainda restaram no saco e as entregaram ao vovô, com a recomendação que as repartisse com a vovó.

Na terceira rodada cada neto pegou uma bala. As duas restantes ficaram para os avós.
Após a primeira rodada cada criança tinha 10 balas e restavam 30 no saco: 100 = 7 x 10 + 30. Era possível prosseguir a distribuição. Após a segunda rodada cada uma tinha 13 balas e restavam 9 no saco: 100 = 7 x 13 + 9. Nesse momento, apesar de ser possível ainda prosseguir, os netos deram por encerrada a distribuição. Mas o avô pediu que prosseguissem e, após a terceira rodada, cada um tinha 14 balas. Restavam 2 no saco: 100 = 7 x 14 + 2.
Neste ponto, como 2 é menor do que 7, e não havia a intenção de fracionar as balas, a divisão se encerrou.

As idéias presentes nas situações anteriores estão embutidas na definição de divisão de números naturais.

Dividir um número natural a pelo número natural b significa encontrar outros dois números naturais q e r que obedeçam a estas condições: a = b x q + r , e , r < b (r é menor do que b).

Representamos a divisão assim:

O número a chama-se dividendo, b é o divisor, q é o quociente e r é o resto.

EXEMPLOS:

Vejamos a divisão 



Como 100 = 15 x 6 + 10 , e , 10 < 15, dizemos que na divisão de 100 por 15 o quociente é 6 e o resto é 10.
É verdade que 23 = 7 x 2 + 9
Entretanto não é correto afirmar que, na divisão de 23 por 7, o quociente é 2 e o resto é 9, pois 9 é maior do que o divisor 7 e, portanto, ainda podemos continuar a divisão.
A divisão correta é:

A "divisão" abaixo está errada pois, apesar de 9 ser menor que 16, não é verdade que : 127 = 16 x 8 + 9
A divisão correta é:

Nesta parte da lição abordamos uma série de conceitos e idéias relacionadas com a divisão. Na parte 2 veremos o cálculo mental, as propriedades e as técnicas de cálculo referentes a essa operação.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p1t6.htm