Fundamentos e Metodologias de Matemática: setembro 2012

O resultado dessa falta de sentido é que os alunos efetuam contas, calculam expressões numéricas e até chegam à solução de problemas, mas de maneira puramente mecânica, pois o que não faz sentido não estimula o raciocínio.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4l1.htm

Dividir Subtraindo

No item anterior procuramos compreender o algoritmo tradicional da divisão. Há outras técnicas para dividir. Consideramos, por exemplo, a divisão de 17 objetos entre 5 pessoas. Primeiro damos 1 objeto para cada pessoa. Como foram distribuídos 5 objetos, restam 17 - 5 = 12 objetos para serem distribuídos:

Damos mais um objeto para cada pessoa.

A seguir mais outro.

Como só restam 2 objetos, admitindo que não se deseja o fracionamento, a divisão está encerrada.

É claro que, comparado com algoritmo tradicional, este tem a desvantagem de ser mais demorado (contudo é possível "enxugá-lo"). Entretanto, este processo de subtrações sucessivas tem uma grande vantagem: ele é compreendido pela criança com muito mais facilidade.

Vejamos outro exemplo: a divisão de 798 por 6. Neste caso, se fôssemos distribuindo de 1 em 1, o trabalho seria penoso! Fazendo uma estimativa, decidimos distribuir 100 para cada um dos 6:

Nova estimativa e decidimos distribuir mais 20 para cada uma:

Agora mais 10 para cada um:

Finalmente:

Esta técnica é conhecida por algoritmo das subtrações sucessivas ou algoritmo americano. Como já afirmamos, o aluno entende este algoritmo muito mais facilmente que o algoritmo tradicional. Quanto ao fato de ser mais demorado, isto é relativo. Com a prática, fazendo estimativas e cálculos mentais, os alunos logo aprendem a "enxugá-lo". Estas considerações não têm a finalidade de sugerir que se use um e não o outro algoritmo. É interessante que a criança conheça (e compreenda!) várias técnicas para dividir. Conhecendo vários processos e as dificuldades envolvidas na compreensão de cada um, deveremos decidir, em cada etapa da vida escolar do aluno, o que é mais adequado ao desenvolvimento do seu pensamento.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p2t7.htm

A Decomposição do Dividendo: Propriedade Distributiva

Vamos interpretar o que a moça fez para dividir 1299 por 3. Ela decompôs 1299 na soma 1200 + 90 + 9. A seguir dividiu cada parcela da soma por 3;

1200 : 3 = 400; 90 : 3 = 30; 9 : 3 = 3.

Depois somou os quocientes obtidos:

400 + 30 + 3 = 433.

Podemos representar esta seqüência de cálculos assim:

1299 : 3 = (1200 + 90 + 9) : 3 = 1200 : 3 + 90 : 3 + 9 : 3 = 400 + 30 + 3 = 433.

As pessoas fazem decomposições como esta, com bastante naturalidade, quando calculam mentalmente.

A decomposição do dividendo não pode ser feita de qualquer jeito. Precisamos escolher bem os números.

As parcelas em que vamos decompor o dividendo devem ser divisíveis pelo divisor, ou seja, devem dar divisões exatas.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p2t2.htm

Prisioneiros do Algoritmo

Esta história é verdadeira. Dois de seus protagonistas são estudantes de 6ª e 7ª séries.

"Sérgio e Edson, à beira do lago, planejam um treino de natação. Querem nadar 1.000 metros e sabem que a distância, de árvore a árvore, é de 32 metros. Quantas vezes precisam atravessar o lago?

Seu Rafael, o avô, solicitado a assistir e controlar o treino, "pensando em voz alta", tenta explicar o cálculo.

Enquanto isso, sem prestar atenção ao que o avô diz, Edson conclui:

- Já sei! Preciso atravessar o lago 33 vezes e mais um pouco.

O avô diz que não é preciso e tenta explicar; pede que ouçam, mas não consegue. Então diz ao neto que explique como chegou ao 33.

O outro irmão acode, pega um graveto e faz a conta no chão. Desta vez o resultado é correto, mas os dois ainda ficam discutindo a respeito do resto 8. Que parte da travessia ele representa?

Seu Rafael, que não é professor, e nem se lembra mais dos tempos em que freqüentou escola, não entende muito bem o que se passa; mas fica com a sensação de que alguma coisa não vai bem com a matemática dos netos".

Edson errou a conta. Ele tentou fazer cálculo "de cabeça", usando o algoritmo tradicional da divisão que havia aprendido na escola (provavelmente de modo mecânico, sem compreendê-lo).

Usando o chão como papel e o graveto como lápis, Sérgio acertou a conta.

Este algoritmo não é adequado para a realização de cálculos mentais; por isso Edson acabou errando. Já seu Rafael, ao fazer a conta "de cabeça", não pensou no algoritmo. Em vez disso, fez estimativas, procurou operar com "números redondos" e, num processo de aproximações sucessivas, descobriu quantas vezes 32 cabe em 1000. Mas seus netos não conhecem estes recursos e aprendem a dividir de uma única maneira.

Com essa história queremos voltar ao que afirmamos no módulo 2 quando estudamos a adição. Naquela ocasião justificamos a prática do cálculo mental. Procuramos destacar a sua importância. No módulo seguinte, estudando a multiplicação, voltamos ao cálculo mental, explorando-o também como fonte para a compreensão das propriedades operatórias. A seguir veremos mais alguns exemplos em que propriedade e conceitos relativos à divisão despontam no cálculo mental.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p2t1.htm

Dividendo, Divisor, Quociente e Resto

Duas situações-problema nos ajudarão a construir alguns conceitos.

"Quantas semanas há em um ano?"

Um ano não bissexto tem 365 dias e a semana tem 7 dias. Queremos saber quantas semanas há em um ano, ou seja, quantos grupos de 7 há em 365. Este cálculo pode ser feito mentalmente.

Como 365 = 7 x 52 + 1 , concluímos que um ano não bissexto tem 52 semanas e 1 dia. O problema proposto nos levou a uma divisão não exata. Esta divisão, que deixa resto 1, pode ser representada assim:

"Vovô Hermínio, que tem 7 netos, comprou 1 cento de balas. Sem dizer quantas balas havia no saco, entregou-o às crianças com a recomendação de que distribuíssem as balas igualmente entre elas."

Sentadas no chão, formando uma roda, as crianças decidiram pegar 10 balas cada uma. O saco ia passando de mão em mão e cada uma, na sua vez, retirava suas balas. Vovô observava os netos.

Na segunda rodada as crianças decidiram pegar mais 3 balas cada uma. Isto feito, olharam as balas que ainda restaram no saco e as entregaram ao vovô, com a recomendação que as repartisse com a vovó.

Na terceira rodada cada neto pegou uma bala. As duas restantes ficaram para os avós.

Após a primeira rodada cada criança tinha 10 balas e restavam 30 no saco: 100 = 7 x 10 + 30. Era possível prosseguir a distribuição. Após a segunda rodada cada uma tinha 13 balas e restavam 9 no saco: 100 = 7 x 13 + 9. Nesse momento, apesar de ser possível ainda prosseguir, os netos deram por encerrada a distribuição. Mas o avô pediu que prosseguissem e, após a terceira rodada, cada um tinha 14 balas. Restavam 2 no saco: 100 = 7 x 14 + 2.

Neste ponto, como 2 é menor do que 7, e não havia a intenção de fracionar as balas, a divisão se encerrou.

As idéias presentes nas situações anteriores estão embutidas na definição de divisão de números naturais.

Dividir um número natural a pelo número natural b significa encontrar outros dois números naturais q e r que obedeçam a estas condições: a = b x q + r , e , r < b (r é menor do que b).

Representamos a divisão assim:

O número a chama-se dividendo, b é o divisor, q é o quociente e r é o resto.

EXEMPLOS:

Vejamos a divisão

Como 100 = 15 x 6 + 10 , e , 10 < 15, dizemos que na divisão de 100 por 15 o quociente é 6 e o resto é 10.

É verdade que 23 = 7 x 2 + 9

Entretanto não é correto afirmar que, na divisão de 23 por 7, o quociente é 2 e o resto é 9, pois 9 é maior do que o divisor 7 e, portanto, ainda podemos continuar a divisão.

A divisão correta é:

A "divisão" abaixo está errada pois, apesar de 9 ser menor que 16, não é verdade que : 127 = 16 x 8 + 9

A divisão correta é:

Nesta parte da lição abordamos uma série de conceitos e idéias relacionadas com a divisão. Na parte 2 veremos o cálculo mental, as propriedades e as técnicas de cálculo referentes a essa operação.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p1t6.htm

Operações Inversas

Gilberto Gil, num dos versos da música Copo Vazio, lembra que um copo vazio está cheio de ar!

Se enchermos um copo de água e a seguir o esvaziarmos ele volta a ficar cheio de ar.

Responda rápido: o avesso do avesso é avesso ou é direito?

Quando uma operação desfaz outra realizada anteriormente, determinando a volta ao estado original, dizemos que uma é a inversa da outra.

Vejamos mais alguns exemplos:

A adição e a subtração são operações inversas. Uma desfaz o que a outra fez. Se a um número a somamos o número b, obtemos o número c, então de c subtraimos b, voltamos ao número a. Essa idéia pode ser representada assim:
Da mesma forma:

Entre a multiplicação e a divisão há uma relação parecida com a que existe entre a adição e a subtração. Veja os exemplos:

A multiplicação e a divisão são operações inversas. Uma desfaz o que a outra fez. Se o número a é multiplicado pelo número b, obtendo-se o número c, então, dividindo c por b voltamos ao número a.
Da mesma forma:

Em outras palavras essa idéia pode ser expressa assim: dividir o número a pelo número b significa encontrar o número c que, multiplicado por b, dá a. Assim, por exemplo, dividir 793 por 13 significa encontrar o número que multiplicado por 13 dá 793. Que número é este?

De fato, 61 x 13 = 793.

Nesse cálculo mental, a divisão de 793 por 13 foi efetuada com base na relação inversa existente entre a multiplicação e a divisão. Ela não foi efetuada assim:

Nomenclatura: quando a : b = c chamamos a de dividendo, b de divisor e c de quociente. Por exemplo, na divisão de 793 por 13, 793 é o dividendo, 13 é o divisor e 61 é o quociente.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p1t5.htm

Quando Devemos Dividir?

"Você precisa distribuir 72 ovos em 6 cestos de modo que não sobrem ovos e todos os cestos tenham a mesma quantia de ovos. Quantos ovos deverá colocar em cada cesto?

"Você precisa guardar 90 ovos em caixas iguais. Cada caixa deverá conter 18 ovos. Não devem sobrar ovos. Quantas caixas serão necessárias?

Compare as duas situações-problema.

Do ponto de vista do adulto, que já domina a divisão, podemos até afirmar que as duas situações se equivalem, na medida em que ambas são resolvidas com uma simples divisão. No primeiro caso a resposta é 72 : 6 = 12, e no segundo é 90 : 18 = 5.

Entretanto, para a criança das primeiras séries escolares, essas situações são distintas. Com algum esforço vamos nos colocar no lugar desse aluno, procurando entender como ele pensa.

Observemos uma criança que tenta resolver concretamente aqueles problemas. Ela poderá enfrentar a primeira situação assim: observa o cesto cheio de ovos, olha para os seis cestos vazios, faz uma estimativa e resolve colocar 6 ovos em cada cesto.

A seguir observa os ovos que sobraram no cestão, faz nova estimativa e decide colocar mais 4 ovos em cada cesto.

Olha o que sobrou e distribui mais 1 ovo para cada cesto. Finalmente põe 1 ovo em cada cesto e verifica que o cestão ficou vazio.

Depois conta e descobre que colocou ao todo 12 ovos em cada cesto.

Agora observemos a criança resolvendo concretamente o segundo problema. Ela poderia completar a primeira caixa, depois a segunda, a terceira e assim por diante até que o cestão ficasse vazio.

Descobriria então serem necessárias 5 caixas.

Aos olhos da criança, qual é a diferença entre estas duas situações?

Veja bem: uma vez resolvidos os problemas, tanto num caso como no outro, temos a formação de grupos de ovos. No primeiro são 6 grupos de 12 ovos e no segundo 5 grupos de 18 ovos. Acontece que, no primeiro problema, o número de grupos a serem formados é conhecido de antemão ao passo que, na segunda situação, o número de grupos a serem formados, isto é, o número de caixas, é desconhecido. É por isso que, no segundo problema, a estratégia de solução não pode ser a mesma do primeiro. A criança não poderia ir colocando o mesmo número de ovos em cada caixa, simplesmente porque não sabe quantas caixas serão necessárias. A primeira situação está próxima do sentido usual que se dá para a divisão: repartir, distribuir (igualmente) uma certa quantidade em um número conhecido de grupos. No problema apresentado isto é representando assim: 72 : 6 = 12.

Quando as crianças resolvem concretamente o segundo problema, da maneira como descrevemos, e pedimos que registrem o que fizeram usando símbolos matemáticos, elas costumam escrever:

18 + 18 + 18 + 18 + 18 = 90ou

5 x 18 = 90ou

18 + 18 = 36

36 + 18 = 54

54 + 18 = 72

72 + 18 = 90

5 grupos de 18 completam 90.ou ainda

90 - 18 = 72

72 - 18 = 54

54 - 18 = 36

36 - 18 = 18

18 - 18 = 0

Em 90 cabem 5 grupos de 18.

Observe como estes registros refletem o raciocínio da criança. Eles mostram o seu modo de pensar. O fato de não escreverem 90 : 5 = 18 (ou 90 : 18 = 5) é sintomático. Além de não usarem estes dois últimos registros, os alunos, em geral, resistem em aceitá-los. Isso mostra a dificuldade que sentem em "enxergar" a divisão no segundo problema. De fato, nessa segunda situação, a divisão se apresenta com uma outra faceta. Não se trata de distribuir uma certa quantidade em um número conhecido de grupos, mas sim de saber quantos grupinhos cabem no "grupão", quantos 18 cabem em 90.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p1t4.htm

Nem Tudo Pode ser Fracionado

"Na semana passada ganhei do meu namorado cinco barras de chocolate. Chegando em casa resolvi dividir o chocolate entre meus quatro sobrinhos. Dei inicialmente uma barra para cada um e a barra restante dividi em quatro partes iguais. Deste modo, cada criança recebeu uma barra inteira e mais a quarta parte de uma barra de chocolate".

O fracionamento permitiu dividir igualmente cinco barras de chocolate entre as quatro crianças, de modo que não sobrasse chocolate. Veja agora esta outra situação:

"A gata Kiki, lá da vizinha, deu cria no portão da minha casa. A ninhada tem cinco filhotes. Prometi distribuir os gatinhos entre quatro crianças que moram nas redondezas. Como não quero privilegiar uma delas, presenteando-a com dois gatinhos, preciso decidir o que fazer com o quinto filhote".

Nesta situação, como o fracionamento não é possível, a divisão em partes iguais faz com que, necessariamente, sobre um gatinho (resto da divisão).

Às vezes é possível o fracionamento daquilo que se divide; às vezes não. É impossível fracionar gatos ou pessoas. Não faz sentido fracionar uma bola de futebol, uma boneca ou um automóvel. Mas pode-se fracionar o chocolate, uma pizza, uma porção de terra ou um círculo.

As situações-problemas relacionadas com a divisão, nas quais é possível o fracionamento daquilo que está sendo dividido, conduzem-nos às frações, ao estudo dos números racionais. Este tema será estudado no Módulo 6 deste curso.

As situações relacionadas com a divisão, nas quais não é possível o fracionamento daquilo que está sendo dividido, conduzem ao estudo da divisão no universo dos números naturais: 0, 1, 2, 3, 4, 5,...

As divisões efetuadas no universo dos números naturais são de dois tipos: as divisões que deixam resto (resto não nulo) e as divisões exatas (ou que têm resto zero). Por exemplo: a divisão de 10 por 4 deixa resto 2 e a divisão de 10 por 5 é exata.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p1t3.htm

A Escolha de Critérios para Dividir

Nas séries iniciais do 1º grau, ao trabalhar com a divisão, pretendemos que a criança compreenda o que significa, na matemática, dividir um número por outro. Para que ela atinja essa compreensão é preciso realizar um trabalho que tem, como ponto de partida, como vimos, as experiências com situações em que ela, espontaneamente, reparte, divide, distribui.

Precisamos estar atentos para as divisões que as crianças realizam nas atividades, jogos e brincadeiras, ou na hora de repartir o chocolate ou o lanche. Em cada oportunidade devemos discutir com elas o critério que usaram para dividir: a divisão foi em partes iguais ou não? Não se trata, neste momento, de classificar estas divisões como certas ou erradas. A finalidade das discussões é fazê-las compreender que uma divisão sempre envolve a escolha de critérios para dividir. Vejamos algumas questões que propiciam essa discussão.

"Repartir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas". Não foi exigido que a divisão fosse feita em partes iguais. Temos muitas maneiras de fazer a distribuição:

- 3 pessoas com 3 bolas e 1 pessoa com 1 bola;

- 2 pessoas com 2 bolas e 2 pessoas com 3 bolas;

- as 4 pessoas receberam 2 bolas cada uma e ficam sobrando 2 bolas;

- cada pessoa recebe 1 bola e ficam sobrando 6 bolas;

- 3 pessoas com 2 bolas e 1 pessoa com 4 bolas; etc.

"Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas de modo que todas recebam a mesma quantidade de bolas".

Neste caso temos 2 possibilidades:

- cada pessoa recebe 1 bola e sobram 6 bolas;

- cada pessoa recebe 2 bolas e sobram 2 bolas.

"Distribuir 10 bolas de futebol entre 4 pessoas de modo que todas recebam a mesma quantidade de bolas e sobre o menor número de bolas.

Neste caso só há um modo de repartir: 2 bolas para cada pessoa e ficam sobrando 2 bolas.

"Repartir 9 bolas para 3 pessoas de modo que elas recebam o mesmo número de bolas, e cujo número seja o maior possível."

Cada pessoa deve receber 3 bolas.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p1t2.htm

Divisão: Na Vida e na Matemática

Em matemática, quando propomos dividir 7 por 3, está subentendido que a divisão deve ser feita em partes iguais. Na vida também é sempre assim? Veja o que aconteceu com Adriana.

"Adriana tem 5 anos. Como toda criança, ela também não gosta de ir ao dentista. Mas desta vez não achou ruim. É que, ao final da consulta, ganhou 7 pirulitos com a recomendação de dividi-los entre ela e seus irmãos.

De volta para casa, sentada no ônibus, foi pensando em voz alta:

- Um para mim, um para minha irmã e um para meu irmão.

Como ainda havia pirulitos sobrando, ela prosseguiu:

- Um para mim outravez, outro para minha irmã e outro para meu irmão.

O sétimo pirulito Adriana foi chupando no caminho!"

Com muita naturalidade Adriana dividiu os 7 pirulitos entre ela, sua irmã e seu irmão, ficando com 3 pirulitos para si e dando 2 para cada um deles. Outra criança poderia, talvez, tentar dividir o sétimo pirulito em três partes. Uma outra, quem sabe, daria o sétimo pirulito para seu pai.

No dia-a-dia as pessoas, e as crianças em particular, dividem, repartem, distribuem coisas. Essas experiências constituem o ponto de partida para o trabalho com a divisão. Precisamos compreender, entretanto, que na vida cotidiana e, principalmente para a criança, dividir não significa, necessariamente, dividir em partes iguais. É importante perceber também que, em nossa língua, a palavra dividir é empregada com muitos sentidos diferentes. Veja estes exemplos:

"O corpo humano divide-se em três partes: cabeça, tronco e membros."

Nesta frase o verbo dividir é empregado no sentido de distinguir as diversas partes.

"A notícia dividiu os moradores da cidade.

Aqui, dividir tem o sentido de estabelecer desavenças, pôr em discórdia.

"O Rio Uruguai divide vários países".

Nesta frase divide significa demarca, limita.

"A altura AH divide o triângulo ABC nos triângulos ABH e ACH."

Nesta sentença, divide significa corta, reparte, secciona.

O último exemplo mostra que, até mesmo num contexto matemático, a palavra dividir nem sempre é empregada no sentido de dividir em partes iguais. Quando se trata de dividir um número por outro número, então sim, subentende-se que a divisão seja feita em partes iguais.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m4p1t1.htm

O Material Dourado Montessori

O mateiral Dourado ou Montessori é constituído por cubinhos, barras, placas e cubão, que representam:

Observe que o cubo é formado por 10 placas, que a placa é formada por 10 barras e a barra é formada por 10 cubinhos. Este material baseia-se em regras do nossso sistema de numeração.

Veja como representamos, com ele, o número 265:

Este material pedagógico, confeccionado em madeira, costuma ser comercializado com o nome de material dourado. Você pode construir um material semelhante, usando cartolina. Os cubinhos são substituídos por quadradinhos de lado igual a 2 cm, por exemplo. As barrinhas são substituídas por retângulos de 2 cm por 20 cm a as placas são substituídas por quadrados de lado igual a 20 cm.

Embora seja possível representar o milhar, vamos evitá-lo trabalhando com números menores.

Damos a seguir sugestões para o uso do Material Dourado Montessori.

As atividades propostas foram testadas e mostraram-se eficazes desde a primeira até a quinta série. Muitas delas foram concebidas pelos grupos de alunos, recomendando-se que os grupos não tenham mais do que 6 alunos.

O professor, com o conhecimento que tem de seus alunos, saberá em que série cada atividade poderá ser aplicada com melhor rendimento. Várias das atividades podem ser aplicadas em mais de uma série, bastando, para isso, pequenas modificações.

Utilizando o material, o professor notará em seus alunos um significativo avanço de aprendizagem. Em pouco tempo, estará enriquecendo nossas sugestões e criando novas atividades adequadas a seus alunos, explorando assim as inúmeras possibilidades deste notável recurso didático.

1. JOGOS LIVRES

Objetivo: tomar contato com o material, de maneira livre, sem regras.

Durante algum tempo, os alunos brincam com o material, fazendo construções livres.
O material dourado é construído de maneira a representar um sistema de agrupamento. Sendo assim, muitas vezes as crianças descobrem sozinhas relações entre as peças. Por exemplo, podemos encontrar alunos que concluem:
- Ah! A barra é formada por 10 cubinhos!
- E a placa é formada por 10 barras!
- Veja, o cubo é formado por 10 placas!

2. MONTAGEM

Objetivo: perceber as relações que há entre as peças.

O professor sugere as seguintes montagens:
- uma barra;
- uma placa feita de barras;
- uma placa feita de cubinhos;
- um bloco feito de barras;
- um bloco feito de placas;
O professor estimula os alunos a obterem conclusões com perguntas como estas:
- Quantos cubinhos vão formar uma barra?
- E quantos formarão uma placa?
- Quantas barras preciso para formar uma placa?
Nesta atividade também é possível explorar conceitos geométricos, propondo desafios como estes:
- Vamos ver quem consegue montar um cubo com 8 cubinhos? É possível?
- E com 27? É possível?

3. DITADO

Objetivo: relacionar cada grupo de peças ao seu valor numérico.

O professor mostra, um de cada vez, cartões com números. As crianças devem mostrar as peças correspondentes, utilizando a menor quantidade delas.

Variação:
O professor mostra peças, uma de cada vez, e os alunos escrevem a quantidade correspondente.

4. FAZENDO TROCAS

Objetivo: compreender as características do sistema decimal.

- fazer agrupamentos de 10 em 10;
- fazer reagrupamentos;
- fazer trocas;
- estimular o cálculo mental.

Para esta atividade, cada grupo deve ter um dado marcado de 4 a 9.

Cada criança do grupo, na sua vez de jogar, lança o dado e retira para si a quantidade de cubinhos correspondente ao número que sair no dado.

Veja bem: o número que sai no dado dá direito a retirar somente cubinhos.

Toda vez que uma criança juntar 10 cubinhos, ela deve trocar os 10 cubinhos por uma barra. E aí ela tem direito de jogar novamente.

Da mesma meneira, quando tiver 10 barrinhas, pode trocar as 10 barrinhas por uma placa e então jogar novamente.

O jogo termina, por exemplo, quando algum aluno consegue formar duas placas.

O professor então pergunta:
- Quem ganhou o jogo?
- Por quê?

Se houver dúvida, fazer as "destrocas".

O objetivo do jogo das trocas é a compreensão dos agrupamentos de dez em dez (dez unidades formam uma dezena, dez dezenas formam uma centena, etc.), característicos do sistema decimal.

A compreensão dos agrupamentos na base 10 é muito importante para o real entendimento das técnicas operatórias das operações fundamentais.

O fato de a troca ser premiada com o direito de jogar novamente aumenta a atenção da criança no jogo. Ao mesmo tempo, estimula seu cálculo mental. Ela começa a calcular mentalmente quanto falta para juntar 10, ou seja, quanto falta para que ela consiga fazer uma nova troca.

cada placa será destrocada por 10 barras;

cada barra será destrocada por 10 cubinhos.

Variações:

Pode-se jogar com dois dados e o aluno pega tantos cubinhos quanto for a soma dos números que tirar dos dados.

Pode-se utilizar também uma roleta indicando de 1 a 9.

5. PREENCHENDO TABELAS

Objetivo: os mesmos das atividades 3 e 4.

- preencher tabelas respeitando o valor posicional;
- fazer comparações de números;
- fazer ordenação de números.

As regras são as mesmas da atividade 4. Na apuração, cada criança escreve em uma tabela a quantidade conseguida.

Olhando a tabela, devem responder perguntas como estas:
- Quem conseguiu a peça de maior valor?
- E de menor valor?
- Quantas barras Lucilia tem a mais que Gláucia?

Olhando a tabela à procura do vencedor, a criança compara os números e percebe o valor posicional de cada algarismo.

Por exemplo: na posição das dezenas, o 2 vale 20; na posição das centenas vale 200.

Ao tentar determinar os demais colocados (segundo, terceiro e quarto lugares) a criança começa a ordenar os números.

6. PARTINDO DE CUBINHOS

Objetivo: os mesmos da atividade 3, 4 e 5.

Cada criança recebe um certo número de cubinhos para trocar por barras e depois por placas.

A seguir deve escrever na tabela os números correspondentes às quantidades de placas, barras e cubinhos obtidos após as trocas.

Esta atividade torna-se interessante na medida em que se aumenta o número de cubinhos.

7. VAMOS FAZER UM TREM?

Objetivo: compreender que o sucessor é o que tem "1 a mais" na seqüência numérica.

O professor combina com os alunos:
- Vamos fazer um trem. O primeiro vagão é um cubinho. O vagão seguinte terá um cubinho a mais que o anterior e assim por diante. O último vagão será formado por duas barras.

Quando as crianças terminarem de montar o trem, recebem papeletas nas quais devem escrever o código de cada vagão.

Esta atividade leva à formação da idéia de sucessor. Fica claro para a criança o "mais um", na seqüência dos números. Ela contribui também para a melhor compreensão do valor posicional dos algarismos na escrita dos números.

8. UM TREM ESPECIAL

Objetivo: compreender que o antecessor é o que tem "1 a menos" na seqüência numérica.

O professor combina com os alunos:
- Vamos fazer um trem especial. O primeiro vagão é formado por duas barras (desenha as barras na lousa). O vagão seguinte tem um cubo a menos e assim por diante. O último vagão será um cubinho.

Quando as crianças terminam de montar o trem, recebem papeletas nas quais devem escrever o código de cada vagão.

Esta atividade trabalha a idéia de antecessor. Fica claro para a criança o "menos um" na seqüência dos números. Ela contribui também para uma melhor compreensão do valor posicional dos algarismos na escrita dos números.

9. JOGO DOS CARTÕES

Objetivos: compreender o mecanismo do "vai um" nas adições; estimular o cálculo mental.

O professor coloca no centro do grupo alguns cartões virados para baixo. Nestes cartões estão escritos números entre 50 e 70.

1º sorteio: Um alunos do grupo sorteia um cartão. Os demais devem pegar as peças correspondentes ao número sorteado.

Em seguida, um representante do grupo vai à lousa e registra em uma tabela os números correspondentes às quantidades de peças.

2º sorteio: Um outro aluno sorteia um segundo cartão. Os demais devem pegar as peças correspondentes a esse segundo número sorteado.

Em seguida, o representante do grupo vai à tabela registrar a nova quantidade.

Nesse ponto, juntam-se as duas quantidades de peças, fazem-se as trocas e novamente completa-se a tabela.

Ela pode ficar assim:

Isto encerra uma rodada e vence o grupo que tiver conseguido maior total. Depois são feitas mais algumas rodadas e o vencedor do dia é o grupo que mais rodadas venceu.

Os números dos cartões podem ser outros. Por exemplo, números entre 10 e 30, na primeira série; entre 145 e 165, na segunda série.

Depois que os alunos estiverem realizando as trocas e os registros com desenvoltura, o professor pode apresentar a técnica do "vai um" a partir de uma adição como, por exemplo, 15 + 16.

Observe que somar 15 com 16 corresponde a juntar estes conjuntos de peças.

Fazendo as trocas necessárias,

Compare, agora, a operação:

com o material

com os números

Ao aplicar o "vai um", o professor pode concretizar cada passagem do cálculo usando o material ou desenhos do material, como os que mostramos.

O "vai um" também pode indicar a troca de 10 dezenas por uma centena, ou 10 centenas por 1 milhar, etc.
Veja um exemplo:

No exemplo que acabamos de ver, o "vai um" indicou a troca de 10 dezenas por uma centena.

É importante que a criança perceba a relação entre sua ação com o material e os passos efetuados na operação.

10. O JOGO DE RETIRAR

Objetivos: compreender o mecanismo do "empresta um" nas subtrações com recurso; estimular o cálculo mental.

Esta atividade pode ser realizada como um jogo de várias rodadas. Em cada rodada, os grupos sorteiam um cartão e uma papeleta. No cartão há um número e eles devem pegar as peças correspondentes a essa quantia. Na papeleta há uma ordem que indica quanto devem tirar da quantidade que têm.

Por exemplo: cartão com número 41 e papeleta com a ordem: TIRE 28.

Vence a rodada o grupo que ficar com as peças que representam o menor número. Vence o jogo o grupo que ganhar mais rodadas.

É importante que, primeiro, a criança faça várias atividades do tipo: "retire um tanto", só com o material. Depois que ela dominar o processo de "destroca", pode-se propor que registre o que acontece no jogo em uma tabela na lousa.

Isto irá proporcionar melhor entendimento do "empresta um" na subtração com recurso. Quando o professor apresentar essa técnica, poderá concretizar os passos do cálculo com auxílio do material ou desenhos do material.

O "empresta um" também pode indicar a "destroca" de uma centena por 10 dezenas ou um milhar por 10 centenas, etc. Veja o jogo seguinte:

11. "DESTROCA"

Objetivos: os mesmos da atividade 10.

Cada grupo de alunos recebe um dado marcado de 4 a 9 e uma placa.

Quando o jogador começa, todos os participantes têm à sua frente uma placa.

Cada criança, na sua vez de jogar, lança o dado e faz as "destrocas" para retirar a quantidade de cubinhos correspondente ao número que sair no dado. Veja bem: esse número dá direito a retirar somente cubinhos.

Na quarta rodada, vence quem ficar com as peças que representam o menor número.

Exemplo: Suponha que um aluno tenha tirado 7 no dado. Primeiro ele troca uma placa por 10 barras e uma barra por 10 cubinhos:

Depois, retira 7 cubinhos:

Salientamos novamente a importância de se proporem várias atividades como essa, utilizando, de início, só o material. Quando o processo de "destroca" estiver dominado, pode-se propor que as crianças façam as subtrações envolvidas também com números.

Fonte: http://educar.sc.usp.br/matematica/m2l2.htm